Bibliografía

Sitio Web Universidad Nacional de Colombia:


http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2000477/docs_curso/contenido.html


Matemáticas para la computación: Jose A. Jimenez Murillo, Editorial Alfaomega, 1a Edición


Matemáticas discretas y sus aplicaciones, Keneth Rosen.


Sitio Web, Electronica Unicrom:


www.unicrom.com


Astola, Jaakko T.; y Stankovic, Radomir S., Fundamentals of Switching Theory and Logic Design, Springer, 2006.

Bolton, Wiliam, Mecatrónica (segunda edición), Editorial Marcombo, 2001.

Bolton, William, Programmable Logic Controllers (cuarta edición), Newnes, 2006.

Diagramas de Bloques

Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las funciones que lleva a cabo cada componente en la ingeniería de control, por lo general se usa una representación denominada diagrama de bloques. Estos diagramas de bloques también representan el flujo de señales entre los bloques, de manera que indican el camino de la información, sea del tipo que sea. A diferencia de una representación matemática puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el flujo de las señales del sistema real.

En un diagrama de bloques se enlazan una con otras todas las variables del sistema, mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloquees un símbolo para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones de transferencia delos componentes por lo general se introducen en los bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la dirección de flujo de las señales. En la figura observe que la señal sólo puede pasar en dirección de las flechas. Por lo tanto, un diagrama de bloques de un sistema de control muestra explícitamente una propiedad unilateral.

 La función de transferencia, que es el contenido de un bloque funcional, es una representación de la descripción o modelo matemático acerca del comportamiento físico del elemento en forma de un cociente entre la transformada de Laplace dela salida y la transformada de Laplace de la entrada. 

La flecha que apunta indica la entrada y la que se aleja indica la salida, y las dimensiones de la señal de salida son las dimensiones de la señal de entrada multiplicadas por las dimensiones de la función de transferencia en el bloque. Las ventajas de la representación mediante diagramas de bloques de un sistema estriban en que es fácil formar el diagrama de bloques general de todo el sistema con sólo conectar los bloques de los componentes de acuerdo con el flujo de  señales y en que es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño general del sistema.

En general, la operación funcional del sistema se aprecia con más facilidad si se examina el diagrama de bloques que si se revisa el sistema físico mismo. Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema.

Punto suma

. Un círculo con una cruz es el símbolo que indica una operación de suma. El signo de más o menos en cada punta de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. Es importante que las cantidades que se sumen o resten tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades.

Punto de ramificación

. Un punto de ramificación es aquel a partir del cual la señal de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos suma.

Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado.

Los sistemas de control realimentados se denominan también sistemas de control en lazo cerrado. En la práctica, los términos control realimentado y control en lazo cerrado se usan indistintamente. En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación, a fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor conveniente. El esquema de bloques que define esto, es el siguiente:

La salida C(s) se realimenta al punto suma, en donde se compara con la entrada de referencia R(s). La naturaleza en lazo cerrado del sistema se indica con claridad por ello. La salida C(s) en este caso, se obtiene multiplicando la función de transferencia G(s) por la entrada al bloque E(s). Cualquier sistema de control lineal puede representarse mediante un diagrama de bloques formado por puntos suma, bloques y puntos de ramificación. Cuando la salida se realimenta al punto de suma para compararse con la entrada.

Por ejemplo, en un sistema de control de temperatura, por lo general la señal de salida es la temperatura controlada. La señal de salida, que tiene la dimensión dela temperatura, debe convertirse a una fuerza, posición o voltaje antes de que pueda compararse son la señal de entrada.

Esta conversión se consigue mediante el elemento de realimentación, cuya función de transferencia es H(s), como se ve en:

  

Minimización por mapas de Karnaugh

Simplificación de funciones con mapas de Karnaugh

Obtener la función de un Mapa de Karnaugh es el procedimiento inverso a la de la realización del mapa. Un termino de la función coloca uno o mas "unos" en el mapa de Karnaugh.
Tomar esos unos, agrupándolos de la forma adecuada, nos permite obtener los términos de la función

Utilizaremos los Mapas de Karnaugh para obtener una función mínima de dos niveles Suma de Productos.

Una expresión de dos niveles sdp se considerará la expresión mínima si:
1. No existe otra expresión equivalente que incluya menos productos.
2. No hay otra expresión equivalente que conste con el mismo numero de productos, pero con un menor numero de literales.

Observe que hablamos de UNA expresión mínima y lo LA expresión mínima. Esto porque pueden existir varias expresiones distintas, pero equivalentes, que satisfagan esta definición y tengan el mismo numero de productos y literales.

La minimización de funciones sobre el mapa de Karnaugh se aprovecha del hecho de que las casillas del mapa están arregladas de tal forma  que entre una casilla y otra, en forma horizontal o vertical existe ADYACENCIA LOGICA. Esto quiere decir que entre una casilla y otra solo cambia una variable.
Definimos los mintérminos adyacentes desde el punto de vista lógico como dos mintérminos que difieren solo en una variable. Agrupando casillas adyacentes obtenemos términos productos que eliminan las variables que se complementan, resultando esto en una versión simplificada de la expresión.

El procedimiento es el de agrupar "unos" adyacentes en el mapa; cada grupo corresponderá a un termino producto, y la expresión final dará un OR (suma) de todos los términos producto. Se busca obtener el menor numero de términos productos posible, lo que implica que cada termino producto debe contener el mayor numero de mintérminos posibles.

Antes de comenzar formalmente con la discusión sobre minimización veamos por un momento el  siguiente mapa de Karnaugh, resultado de la función:

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f

=

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

+

A

B

C

D

Como podemos notar, la función está expresada en forma canónica, por lo que cada mintérmino "colocará" un 1 en su casilla correspondiente como se muestra en el mapa de Karnaugh correspondiente.

Supongamos por un momento que agrupemos los "unos" del mapa de Karnaugh como se muestra en la figura. Según esto tenemos cuatro términos que son: termino I    A   (agrupa 8 unos y es de 1 variable) _ termino II   B C   (agrupa 4 unos y es de 2 variables) _ _ termino III  A C D   (agrupa 2 unos y es de 3 variables) _ _ _ _ termino IV A B C D   (agrupa 1 uno   y es de 4 variables)

Puede verse que a medida que agrupamos mayor cantidad de "unos", el termino tiene menos literales. El agrupamiento se hace con una cantidad de "unos" que son potencias de 2. Así agrupamos 2 mintérminos, 4 mintérminos y 8 mintérminos. Cada vez que aumentamos, el termino va eliminando una variable. En una función de 4 variables, un termino que tenga un solo "uno" tendrá las cuatro variables. De hecho es un termino canónico. Al agrupar dos mintérminos eliminaremos  una variable y el termino quedará de tres variables. Si agrupamos cuatro "unos" eliminaremos dos variable quedando un termino de dos variables y finalmente si agrupamos ocho "unos" se eliminaran tres variable para quedar un termino de una variable.
Todo esto se debe a la adyacencia entre casillas y cada vez que agrupamos, se eliminan las variables que se complementan.

En el ejemplo anterior la función obtenida es: _ _ _ _ _ _ _ f = A B C D + A C D + B C + A Pero, ¿será esta la función mínima? Si vemos la figura a la derecha, la forma de agrupar nos da como resultado: _ _ f = D + B C + A         que sí es expresión mínima. Es importante que al "tomar" un uno, se agrupe con todos los unos adyacentes, aunque estos uno sean parte de otros grupos. Fíjese que el mintérmino 13 (11002) es común a los tres términos.

Para simplificar funciones utilizando mapas de Karnaugh hay que tener en cuenta que:

• Cada casilla (mintérmino) en un mapa de Karnaugh de n variable tiene n casillas adyacentes lógicamente, de modo que cada par de casillas defiere en una variable
• Al combinar las casillas en un mapa de Karnaugh, agruparemos un número de mintérminos que sea potencia de dos. Así agrupar dos casillas eliminamos una variable, al agrupar cuatro casillas eliminamos dos variables, y así sucesivamente. En general, al agrupar 2n casillas eliminamos n variables.
• Debemos agrupar tantas casillas como sea posible; cuanto mayor sea el grupo, el termino producto resultante tendrá menos literales. Es importante incluir todos los "unos" adyacentes a un mintérmino que sea igual a uno.
• Para que hayan menos términos en la función simplificada, debemos formar el menor numero de grupos posibles que cubran todas las casillas(mintérminos) que sean iguales a uno. Un "uno"  puede ser utilizado por varios grupos, no importa si los grupos se solapan. Lo importante es que si un grupo está incluido completamente en otro grupo, o sus "unos" están cubiertos por otros grupos, no hace falta incluirlo como termino.

Terminología para la simplificación: Implicante, Implicante Primo, Implicante Primo Esencial.

A continuación definiremos algunos términos comúnmente utilizados en los procesos de simplificación de funciones lógicas.

Implicante:
Conjunto de unos en un mapa de Karnaugh que representa un termino producto de variables. Se denomina implicante porque cuando este termino toma el valor 1, implica que también la función toma el valor 1. Un mintérmino solo es un implicante.

Implicante Primo:
Implicante que no está incluido completamente dentro de otro implicante. No puede combinarse con otro implicante para eliminar un literal.

Implicante Primo Esencial:
Implicante primo que contiene uno o mas mintérminos que no están incluidos en cualquier otro implicante primo.

En el siguiente mapa de Karnaugh:Los términos I II y III  son implicantes primos El termino IV no es implicante primo Los términos I y III son implicantes primos esenciales El termino II no es un implicante primo esenciales La función se obtiene con los términos I y III

Algoritmo de minimización mediante mapas de Karnaugh

1. Identificar los implicantes primos. Para esto se busca obtener los grupos con mayor cantidad de unos adyacentes. Los grupos deben contener un numero de unos que son potencias de 2.

2.Identificar  todos los implicantes primos esenciales

3.La expresión mínima se obtiene seleccionando todos los implicantes primos esenciales y el menor numero de implicantes primos para cubrir los mintérminos no incluidos en los implicantes primos esenciales.

Ejemplo: Simplificar la función: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ f = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D En los mapas siguientes se muestra el proceso de simplificación utilizando el algoritmo.

Implicantes primos	Implicantes primos esenciales	_ _ _ _ F(A,B,C,D) = B C D + A D + A C D + B C D

Para practicar puede bajar esta programa freeware  muy intuitivo y fácil de usar. Llenas la tabla de verdad y a medida que vas colocando los unos, se va llenando   el mapa de Karnaugh y se van agrupando los términos. También se pueden marcar los unos directamente en el mapa de Karnaugh. No se requiere instalación. Ocupa 283 Kb. Haz click en el icono para bajarlo.

Los ejemplos anteriores se realizaron con funciones de 4 variables. Para mapas de Karnaugh de 5 y 6 variables el procedimiento es esencialmente el mismo solo hay que recordar que un mintermino es adyacente a otro mintermino que ocupe la misma posición en forma horizontal o vertical en los cuadrados a los lados del mapa.

Minimización en mapas de Karnaugh de 5 variables

Simplificar la función = m(0,2,8,11,15,18,20,21,27,28,29,31)

Se coloca un 1 en los minterminos

_ _ _ _ _ _ _ _ La función quedará f = A C D E + B D E + B C D E + A C D

Mapas de Karnaugh

Los mapas de Karnaugh constituyen un método sencillo y apropiado para la minimización de funciones lógicas. El tamaño del mapa depende depende del numero de variables, y el método de minimización es efectivo para expresiones de hasta 6 variables. Representación de funciones con mapas de Karnaugh Un mapa de Karnaugh es una representación gráfica de una tabla de verdad, y por lo tanto existe una asociación unívoca entre ambas. La tabla de verdad tiene una fila por cada mintérmino, mientras que el mapa de Karnaugh tiene una celda por cada mintérmino. De manera análoga, también existe una correspondencia unívoca entre las filas de la tabla de verdad y las celdas del mapa de Karnaugh si se utilizan maxtérminos. El proceso de minimización usando como herramienta los mapas de Karnaugh se basa en la forma en como se acomodan las celdas del mapa que representan cada una un mintérmino. Al igual que en una tabla de verdad, en la que colocamos 1 o 0 en el valor de la función correspondiente a una de las 2n combinaciones, así hacemos en un mapa de Karnaugh, colocando un 1 en la celda correspondiente a la combinación para la cual la función vale 1 y dejando en blanco las celda correspondientes a la combinación para  la cual  la función vale 0. Para entender como se representa un mapa de Karnaugh, supongamos que K sea el conjunto de los ceros y unos de una función y su representación sea un rectángulo o un cuadrado, Como se muestra en la figura.  Una variable A podrá asumir sólo dos valores de verdad: 0 o 1, por lo que podemos dividir K en dos porciones: una donde A vale cero ( A no existe) otra donde A vale uno  ( A existe) Colocamos la A a un lado del rectángulo para definir a cual  variable corresponde la distribución de K. Observe que el contrario de A (  existe donde A no existe y viceversa; en esta forma podemos añadir al mapa de A dos letras indicando el lugar en donde son válidas A y . Ordinariamente solo se coloca la variable A y el 0 y 1 para indicar las áreas de existencia de A y . Si deseamos representar en el mapa una función dependiente de A, solo necesitaremos indicar en que parte se encuentra. Sea por ejemplo f = A : f existe en el área en que A existe ( f = 1 si A = 1). Podemos entonces señalar el área de A como la región de existencia de f. Esto lo hacemos colocando un 1 donde f = 1. Si la función fuera g = , colocaríamos un 1 en el área donde A es igual a cero (  ) como se muestra en la figura. Consideremos ahora dos variables A y B que deben tener una representación en K. Cuatro son las formas posibles de combinar A y B: A=0 y B=0,  A=0 y B=1,  A=1 y B=0,   A=1 y B=1. Note que cada uno de los 4 cuadrados en los que se subdivide el mapa corresponde a un mintérmino. Por ejemplo el cuadrado superior izquierdo corresponde a la combinación A = 0 y B = 0. Esto es la INTERSECCION del área donde A vale 0 con el área donde B vale 0, lo que podemos expresar como · . Recuerde que la combinación  ·  en una función de 2 variables es el mintérmino m0 . Mapas de Karnaugh de 2 variables Sea f una función de 2 variables f (A,B) Para elaborar el mapa de Karnaugh tendremos 22 = 4 combinaciones. En la figura se muestra la tabla de verdad con la lista de los mintérminos y el lugar que ocupa cada uno de ellos en un mapa. Una manera mas sencilla de representar el mintérmino en la casilla correspondiente es señalando su valor decimal. Por ejemplo la combinación A=1 y B=1 es el termino AB cuyo valor binario es 11 y que convertido a decimal da 3. (Mintérmino m3). Mapas de Karnaugh de 3 variables Sea f una función de 3 variables:f (A,B,C) Para elaborar el mapa de Karnaugh tendremos 23 = 8 combinaciones. Al igual que antes cada casilla del mapa corresponde a un mintémino de la tabla de verdad. Es importante colocar las variables en el orden indicado de mas significativo a menos significativo (A, B, C), de otra forma el valor decimal de las casilla sería diferente. CUIDADO: Note que en las columnas AB no se sigue el orden progresivo de valores, 00, 01, 10, 11 sino 00, 01,11,10. Esto es muy importante, ya que el proceso de minimización depende de la ubicación de las casillas en el mdk. Esto se hace para que entre una casilla y otra, en forma horizontal o vertical solo cambie una variable, lo que llamamos ADYACENCIA LOGICA. Por ejemplo la casilla 2 (010) es adyacente a las casillas 0 (000)(cambia B), a la 3 (011)(cambia C) y a la 6 (110)(cambia A). ¿ Cuales son las casillas adyacentes a la casilla 4? Note que además de la 6 y la 5 también es adyacente a la 0 ( entre 100 (4) y 000 (0) cambia A) Antes de seguir con 4, 5 y 6 variables veamos como se representa una función en un mapa de Karnaugh: 1. Desde la tabla de verdad Supongamos que tenemos la siguiente tabla de verdad para una función de 3 variables f(ABC): El mapa de Karnaugh se obtiene colocando un 1 en las casillas correspondientes a las combinaciones para las cuales la función es igual a 1. En este caso para las combinaciones: _ _   _ _ _ A B C , A B C , A B C , A B C 2. Directamente desde una función. Para este caso la función puede ser o no canónica. Si es canónica cada termino producto es un mintérmino, por lo que tiene una casilla especifica en el mapa de karnaugh. _ _   _ _ _ Por ejemplo la función  f = A B C + A B C + A B C + A B C Es una función canónica (cada termino producto posee todos los literales de la función) y tendrá la misma representación que el mdk anterior ya que corresponde a la función de la tabla de verdad. En este punto es bueno recordar el significado geométrico de los mapas de Karnaugh. Si tomamos una función de 3 variables, f( A,B,C), en el mdk debemos poder representar lo siguiente el área de existencia de A, de , de B, de , de C y de  . Esto se realiza de la siguiente manera: Area de existencia de A Area de existencia de B Area de existencia de C Area de existencia de  Area de existencia de  Area de existencia de  Una casilla del mapa corresponde a un mintérmino. Por ejemplo la casilla 6 corresponde a la combinación AB que quiere decir A=1 Y B=1 Y C=0. Esto es el AND de A, B y . Geométricamente se representa como la INTERSECCION de las áreas donde A existe , B existe y   existe. Si sobreponemos estas áreas, la única casilla común es la casilla 6 y es la representación de AB Siguiendo esta misma relación el OR es la UNION de áreas. Pruebe como ejercicio a representar en un mapa de Karnaugh de 2 variables la función f = A+B y compárela con la tabla de verdad del OR. Con lo dicho anteriormente, cuando la función es canónica, la intersección de las áreas que representan a los literales del termino solo coinciden en una casilla y por eso cada mintérmino tiene su casilla correspondiente. ¿ Que sucede cuando la función no es canónica?  Pruebe a representar la función f(A,B,C)= A B +  B  +  C Esta función no es canónica ( el primer termino no tiene todas las variables de la función). Si utilizamos el mismo razonamiento gráfico podemos decir que la función es la UNION de las áreas que representan cada uno de los términos, y cada termino es la INTERSECCION de las áreas que representan sus literales. El termino AB será la intersección de las áreas de A=1 y B=1, el termino   B   la intersección de las áreas de A=0, B=1 y C=0  y el termino   C la intersección de las áreas de A=0, B=0 y C=1 . El mapa final se obtiene con la unión de los tres resultados. Termino AB Termino  B  Termino   Si unimos los resultados tendremos: Colocando un 1 en las casillas correspondientes:: Si vemos este resultado es el mismo que obtuvimos para el ejemplo anterior. Su representación en un mapa de karnaugh es la misma por lo que las funciones son equivalente. Esto quiere decir que: A B  + A B C +  B  +   C = A B +  B  +   C Si lo demostramos utilizando álgebra de Boole : AB(C+ ) +  B  +   C = A B +  B  +   C AB + B  +   C = A B +  B  +   C El hecho de simplificar AB(C+ ) = AB  es lo que gráficamente llamamos ADYACENCIA LOGICA y que nos servirá para minimizar directamente desde el mdk sin utilizar manejo algebraico.  Problema: Demuestre con mapas de Karnaugh que     +A   + A  C + A B C = AC +    Mapas de Karnaugh de 4 variables Sea f una función de 4 variables:f (A,B,C,D) Para elaborar el mapa de Karnaugh tendremos 24 = 16 combinaciones. Siguiendo el mismo procedimiento que para la función de 3 variables obtenemos el mapa que se muestra en la figura. Note el orden en que se colocan las variables A, B,C y   mas significativo a menos significativo. También como antes  para las columnas AB, las filas CD siguen el orden  00, 01, 11, 00 para que haya adyacencia lógica Mapas de Karnaugh de 5 variables Sea f una función de 5 variables:f (A,B,C,D,E) Para elaborar el mdk tendremos 25 = 32 combinaciones. Note que ahora una casilla, además de ser adyacente en forma horizontal o vertical, es adyacente  a la casilla que ocupa la misma posición en el cuadrado cercano. Por ejemplo la casilla 15(01111) es adyacente al las casillas 13, 7, 14, 11 y a la 31(1111) Esto porque cambia una sola variable entre una casilla y otra. Mapas de Karnaugh de 6 variables Sea f una función de 6 variables:f (A,B,C,D,E,F) Para elaborar el mdk tendremos 26 = 64 combinaciones. Note que ahora una casilla, además de ser adyacente en forma horizontal o vertical, es adyacente  a la casilla que ocupa la misma posición en el cuadrado cercano horizontal y en el cuadrado cercano vertical. Por ejemplo la casilla 10 (001010) es adyacente a las casillas 11(001011), 14(001110), 8(001000), 2(000010) y a las casillas 26(011010) y 42 (101010)