Circuitos lógicos o booleanas

Circuitos lógicos o booleanas

La verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito eléctrico con un interruptor.

Así, para representar a p, si es F, se tiene:  p

y para p, si es V, se tiene:  p

Es decir, el interruptor se cierra si p es V y se abre si p es F.

Podemos, así, representar las operaciones proposicionales mediante circuitos con tantos interruptores como proposiciones componentes, combinados en serie o paralelamente.

Veremos, a continuación, como representar en forma booleana las operaciones que surgen de operar con dos proposiciones mediante los conectivos lógicos que conocemos.

Conjunción

Este circuito admite el pasaje de corriente, es decir la verdad de p Ù q, sólo si ambas son V (comprobar en la tabla de verdad de la conjunción).

Disyunción

Está representada por un circuito en paralelo.

Como vemos, admite el pasaje de corriente cuando al menos una de las dos es V (comprobar en la correspondiente tabla de verdad).

Implicación

Dado que la representación mediante circuitos booleanos sólo es posible en caso de la conjunción o disyunción, para todas las demás operaciones necesitamos convertirlas en combinación de éstas. Así, puesto que ( p Þ q ) Û ~ ( p Ù ~ q ), aplicando una ley de De Morgan y la doble negación, se tiene ( p Þ q ) Þ ( ~ p Ú q )

Es decir, convertimos la implicación en una disyunción para poder representarla mediante un circuito booleano. Tenemos, así:

Diferencia simétrica

Para poder representar la diferencia simétrica mediante un circuito booleano, necesitamos realizar algunas operaciones lógicas:

( p Ú q ) Û ~( p Û q ) Û ~{ ( p Þ q ) Ù ( q Þ p )} Û ~( p Þ q ) Ú ~( q Þ p ) Û

( p Ù ~ q ) Ú ( q Ù ~ p ) Û ( p Ú q ) Ù ( p Ú ~ p ) Ù ( ~ q Ú q ) Ù ( ~ q Ú ~ p ) Û

( p Ú q ) Ù ( ~ p Ú ~ q )

Así hemos convertido la diferencia simétrica en la conjunción de dos disyunciones.

Ejemplo: Dibujar el circuito booleano de la siguiente proposición: ( p Ú q ) Ù r