Leyes del álgebra proposicional

Leyes del álgebra proposicional

Como bien dijimos arriba, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la combinación de los valores veritativos de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

Involución

~ (~ p) Û p (se lee "no, no p, equivale a p")

Idempotencia

(p Ù ~ p) Û p

(p Ú ~ p) Û p

Conmutatividad

a) de la disyunción: p Ú q Û q Ú p

b) de la conjunción: p Ù q Û q Ù p

Asociatividad

a) de la disyunción: (p Ú q) Ú r Û p Ú (q Ú r)

b) de la conjunción: (p Ù q) Ù r Û p Ù (q Ù r)

Distributividad:

De la conjunción respecto de la disyunción: (p Ú q) Ù r Û (p Ù r) Ú (q Ù r)

De la disyunción respecto de la conjunción: (p Ù q) Ú r Û (p Ú r) Ú (q Ú r)

Leyes de De Morgan

~ ( p Ú q ) Û ~ p Ù ~ q

"La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones"

~ ( p Ù q ) Û ~ p Ú ~ q

"La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones"

Negación de una Implicación

Las proposiciones p Þ q y ~ (p Ù ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes:

p	q	p Þ q	(p Ù ~ q)	~(p Ù ~ q)	p Þ q Û ~(p Ù ~ q)
V V F F	V F V F	V F V V	F V F F	V F V V	V V V V

Con esto, comprobamos que la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir

~ (p Þ q) Û ~{ ~(p Ù ~ q)}, y podemos concluir entonces que: 

~ ( p Þ q ) Û ( p Ù ~ q)

Es decir, la negación de una implicación no es una implicación sino la conjunción del antecedente con la negación del consecuente.

Ejemplo: Sea la implicación p: hoy es viernes entonces mañana es domingo

Su negación es ~ p: hoy es viernes y mañana no es domingo.