Funciones proposicionales y cuantificadores

Funciones proposicionales y cuantificadores

Función Proposicional

Supongamos los enunciados abiertos: 

" x es la capital de Buenos Aires"

" y + 4 = 11"

Estos no tienen un valor veritativo. Pero si en el primero de ellos hacemos x = La Plata, tenemos:

"La Plata es la capital de Buenos Aires" (V)

Asimismo, si en el segundo hacemos x = 9, resulta:  9 + 4 = 11 (F)

Podemos, entonces, dar la siguiente definición: "Una función proposicional es un enunciado abierto de la forma P_(x) que se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable".

Ejemplos:

p_(x) : 2x + 5 > 11 , si x = 4 \ 13 > 11 (Verdadero)

q_(x) : 3x + 7 = 11 , si x = 5 \ 22 = 16 (Falso)

r_(x) : 2x + 1 = 5 , si x = 2 \ 5 = 5 (Verdadero)

s_(x) : x es un animal, si x = mesa se tendrá : mesa es un animal (Falso)

t_(x) : x es un ave, si x = flamenco se tiene: el flamenco es un ave (Verdadero)

Cuantificadores

A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos " x y $ x, llamados cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente. Las expresiones

Para todo x, se verifica p_(x) se denota por " x : p_(x)

Existe x, tal que se verifica p_(x) se denota por $ x / p_(x)

Corresponden a una función proposicional p_(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente en el segundo.

Ejemplo: Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada universalmente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional.

Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, La negación de "Todos los enteros son impares" es "Existen enteros que no son impares"   y en símbolos: $ x / ~ p_(x)

Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial, y se niega la función proposicional.

Ejemplo:  Supongamos la proposición: Todos los alumnos de mi colegio son aplicados

La vamos a escribir en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al lenguaje ordinario.

Nos damos cuenta pronto que se trata de la implicación de dos funciones proposicionales:

p_(x) : es alumno de mi colegio

q_(x) : es aplicado

Tenemos:  " x : p_(x) Þ q_(x)

Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una implicación resulta:

$ x / p_(x) Ù ~ q_(x)