Operaciones proposicionales

Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba:

Negación

Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~ p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo:

p: Diego estudia matemática  

~ p: Diego no estudia matemática

Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:

p	~ p
V F	F V

Observamos aquí que al valor V de p, la negación le hace corresponder el valor F, y viceversa.

Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.

Ejemplo: La negación de " p: todos los alumnos estudian matemática" es                 

~ p: no todos los alumnos estudian matemática

o bien:          

~ p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática

~ p: hay alumnos que no estudian matemática

Conjunción

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p Ù q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:

p	q	p Ù q
V V F F	V F V F	V F F F

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.

Ejemplo: Sea la declaración: i)  

Vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son

p: 5 es un número impar

q: 6 es un número par

Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera.

Ahora bien, sea la declaración

ii) Hoy es el día 3 de noviembre y mañana es el día de 5 de noviembre

Esta conjunción es falsa, ya que no pueden ser simultáneamente verdaderas ambas proposiciones.

Disyunción

Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p Ú q cuya tabla de valor de verdad es:

p	q	p Ú q
V V F F	V F V F	V V V F

La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyente indistintamente. Para agotar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que nos muestra que la disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.

Ejemplo: Sea  i)  Tiro las cosas viejas o que no me sirven

El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V.

Implicación o Condicional

Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p Þ q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es:

p	q	p Þ q
V V F F	V F V F	V F V V

La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Ejemplo: Supongamos la implicación  

La implicación está compuesta de las proposiciones

p: apruebo

q: te presto el libro

Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera.

Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple.

Ejemplo: 1 = –1 Þ 1² = (–1)² (F)

La proposición resulta ser falsa por ser el antecedente (1 = –1) falso.

Doble Implicación o Bicondicional

Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p Û q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es

p	q	p Û q
V V F F	V F V F	V F F V

La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p Û q puede obtenerse mediante la tabla de (p Þ q) Ù (q Þ p), como vemos:

p	q	p Þ q	q Þ p	(p Þ q) Ù (q Þ p)
V V F F	V F V F	V F V V	V V F V	V F F V

Ejemplo: Sea i) a = b si y sólo si a² = b²

El enunciado está compuesto por las proposiciones:

p: a = b

q: a² = b²

Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V. En los demás casos es V.

Diferencia Simétrica

Diferencias simétrica o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la proposición p Ú q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es:

p	q	p Ú q
V V F F	V F V F	F V V F

La verdad de p Ú q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes.

Ejemplo: Sea i) o vamos a Córdoba o vamos a Mendoza

Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado i) es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso.

Condición Necesaria y Suficiente

Consideremos la tabla de valores de verdad de la implicación

p	q	p Þ q
V V F F	V F V F	V F V V

Hay tres casos en los que p Þ q es V, y entre ellos hay uno en que p es V, en el cual resulta q verdadera. Es evidente que hacemos referencia al primer renglón de la tabla y tenemos que si p Þ q es V y p es V, entonces q es V. Se dice entonces que el antecedente p es condición suficiente para el consecuente q.

En cambio, si p es F, nada podemos decir de q puesto que puede ser V o F. Por otra parte, cuando p Þ q es V, si q es V, entonces p puede ser V o F; mas para que p sea V se necesita que q lo sea. Se dice entonces que q es condición necesaria para p.

Estas condiciones suelen expresarse del siguiente modo:

q si p (condición suficiente)

p sólo si q (condición necesaria)

Ejemplo: La siguiente implicación es V: "Si T es equilátero, entonces T es isósceles"

En este caso:

p: T es equilátero

q: T es isósceles

y p es condición suficiente para q, es decir, que un triángulo sea equilátero es suficiente para asegurar que sea isósceles. Por otra parte, T es equilátero sólo si es isósceles; es decir que un triángulo sea isósceles es necesario para que sea equilátero.

Sea ahora la doble implicación p Û q, es decir (p Þ q) Ù (q Þ p). Si p Û q es V, entonces p Þ q es V y q Þ p es V. Se tiene, atendiendo a la primera, que p es condición suficiente para q y, teniendo en cuenta la segunda implicación, ocurre que p es condición necesaria para q.

Es decir, si p Û q es V, entonces el antecedente p es condición necesaria y suficiente para el consecuente q. Análogamente, en el caso de la doble implicación verdadera, el consecuente q es también condición necesaria y suficiente para el antecedente p.

Proposiciones lógicamente equivalentes

Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p º q

Ejemplo: Sea p: p Þ q, recordamos su tabla de verdad:

p	q	p Þ q
V V F F	V F V F	V F V V

Ahora bien , si analizamos la proposición q: ~ p Ú q, su tabla de verdad resulta:

p	q	~ p Ú q
V V F F	V F V F	V F V V

Como vemos, luego de realizar las tablas de valor veritativo encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos:

(p Þ q) º (~ p Ú q)